300 énigmes by Nicolas Conti

By Nicolas Conti

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The inverse problem of scattering theory

Half 1. The boundary-value challenge with no singularities --I. specific suggestions of the procedure with no singularities --II. The spectrum and scattering matrix for the boundary-value challenge with out singularities --III. the basic equation --IV. Parseval's equality --V. The inverse challenge --Part 2.

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M — 1 } } . ,m —1}}, et < X > est un ensemble fini. b) Par définition, l’ordre co(x) de x est le cardinal de < x > , ce que l’on note (O (x) = I < X > |. Si X est d’ordre fini, on démontre que : to (x) = I < X > I = Min{A; G N*/x* = e} (*) ce qui permet de définir to (x) de deux façons différentes : comme le cardinal d’un ensemble ou comme le plus petit exposant strictement positif k tel que x*’ = e. Il s’agit de démontrer l’égalité (*). ,x’”“ ^}. 3. RÉPONSES 63 Montrons la contraposée : si l’on suppose que æ* = avec i , j G {0 , m —1}, alors = e avec 0 < |г — < m.

Em est une partition d ’un ensemble fini E, alors |E| = |E i| -|-... -H \Em\P reu ve — On raisonne par récurrence sur m. La propriété est triviale si m = 1. Si m = 2, considérons une partition E\, E 2 de E. 4. PRINCIPES DE DENOMBREMENT cardinal de Ei, on sait l’existence de deux bijections fi : N^. et on vérifie que l’application : / • 53 Ei (i — 1, 2) >E = El U E 2 définie par / (n) = /1 (n) si n < mi et / (n) = h { n —m \) si n > m \, est une bijection. La propriété au rang 2 suffit à prouver que la propriété est héréditaire.

Si elle est vraie au rang m — 1, pour tout x G Em on peut considérer la partie Fx = E \X ... x Em-i x {x}. La famille {Fx}xeEm ®st une partition de l’ensemble Ei x ... x Em, et chaque partie Fx est trivialement en bijection avec El x ... x Em-iLe principe de la somme et l’hypothèse récurrente permettent donc d’écrire 1^1 X ... x|E «_i|) X^Ern = \Ei\ X ... X \Em\, ce qui achève la preuve. 3 P r in c ip e d u b e r g e r P rin cip e d u b erger — Si f : E ^ F est une application surjec­ tive à valeur dans u n ensemble fini F, et s’il existe p G N* tel que ({y})| = P p ou r to u t y €.

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