Algebra 1 und 2 [Lecture notes] by Burkhard Külshammer

By Burkhard Külshammer

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Insbesondere ist z ∈ Lm ⊆ M∞ . „⇒“ Sei z ∈ M∞ , also z ∈ Mk für ein k ∈ N0 . Sei Œ k ∈ N. Dann ist z in einem Schritt aus endlich vielen Punkten y1 , . . , ys ∈ Mk−1 konstruierbar. Wir können annehmen, dass für y1 , . . , ys die Behauptung schon gilt. Für j = 1, . . , s existiert also eine Folge von Teilkörpern Q(M∪M) = Lj0 ⊆ Lj1 ⊆ . . ⊆ Ljlj von Teilkörpern von C mit yj ∈ Ljlj . Dabei ist lj die Länge der Folge. Weiter haben wir [Lj,k : Lj,k−1 ] = 2 für k = 1, . . , lj . Jedes Lj,k entsteht aus Lj,k−1 durch Adjunktion einer Quadratwurzel.

B EWEIS : Im Fall char(K) = 0 wäre der Primkörper P von K zu Q isomorph, also unendlich. Also: p := char(K) > 0. Dann K | P Körpererweiterung. Da K endlich ist, ist n := [K : P] < ∞. Folglich: |K| = |P|n = pn . 8 Es gibt also keine Körper mit 6 oder 10 Elementen. Die Anzahl der Elemente kann nur pn mit (p ∈ P) sein. 9 Für ein Element a einer Gruppe G nennt man ord(a) := min { n ∈ N | an = 1 } die Ordnung von a. Existiert das Minimum nicht, so sagt man, dass a unendliche Ordnung hat, und schreibt: ord(a) = ∞.

Bn ) bezeichnen wir den Durchschnitt aller Teilkörper von L, die K und b1 , . . , bn enthalten. 2(b) ist K(b1 , . . , bn ) ein Teilkörper von L. Man sagt, dass dieser Teilkörper durch Adjunktion2 von b1 , . . , bn zu K entsteht. Man zeigt leicht: (i) K(b1 , . . , bn ) = (K(b1 , . . , bn−1 ))(bn ) (ii) K(b) = ϕ(b) ψ(b) ϕ, ψ ∈ K[X], ψ(b) = 0 für b ∈ L. 2 Sei L | K Körpererweiterung und b ∈ L algebraisch über K mit Minimalpolynom µ vom Grad n. 3 Insbesondere ist [K(b) : K] = deg µ = n < ∞ und K(b) = a0 + a1 b + · · · + an−1 bn−1 a0 , .

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