Analyse fondamentale : espaces métriques, topologiques et by Szymon Dolecki

By Szymon Dolecki

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Les notions de fermé, ouvert, fermeture, intérieur, voisinage, etc. sont apparues chez Cantor, Peano, Jordan, Riesz et autres t1), d’abord dans le contexte des espaces euclidiens. Chacune d’elles peut être utilisée afin de définir les espaces topologiques. F ig u r e III. 1. Camille Jordan (1838-1922), Kazimierz Kuratowski (1896-1980) et Léopold Vietoris (1891-2002) Les espaces topologiques en toute généralité paraissent en 1927 dans Mengenlehre de Félix Hausdorff. Jusque dans les années soixante du vingtième siècle le problème de métrisabilité des espaces topologiques (c’est-à-dire des conditions topologiques garantissant l’existence d’une métrique compatible) fut un des problèmes centraux de la topologie.

La réciproque est aussi vraie. 7. a où F a désigne l’ensemble de tous les fermés incluant A. D émonstration . L’idempotence de cl implique que cl A est fermé, donc cl A G FAy donc C\FeTA ^ c c^ * D’autre part, incluant A et, par conséquent, clA ccin 1 'FeTA F C Pi 1 ]FeFA est un fermé clF cP l ' 'F€Fa F. 8 (espace discret). Considérons un espace métrique discret sur un ensemble X , c’est-à-dire les suites convergentes sont stationnaires. 2 est compatible. Par conséquent, V G V(æ) si et seulement si x G V ; en particulier, {x} G V(x).

6. Si £ ,r sont deux topologies sur X , alors r < £ si et seulement si cl^ A c clr A pour tout A C X . D é m o n s t r a t i o n . Par définition, clf A est l’intersection des £-fermés incluant A. Puisque il y a moins de r-fermés que de £-fermés, la fermeture clr A, l’intersection des r-fermés incluant A, inclut cl^ A. □3 3. Le caractère est bien défini. Effectivement, soit A(æ) l’ordinal-cardinal tel que cardA(æ) = y (®)» et A := {A(æ) : x 6 X}. Comme A est un ensemble d ’ordinaux, sup A existe, et x (X) = card(supÀ) (Voir le chapitre A.

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