Bundeswettbewerb Mathematik: Die schönsten Aufgaben by Hanns-Heinrich Langmann, Erhard Quaisser, Eckehard Specht

By Hanns-Heinrich Langmann, Erhard Quaisser, Eckehard Specht

Dieses Buch wird alle Liebhaber der Mathematik (und die es werden wollen) durch eine Fülle von reizvollen und unterhaltsamen Problemstellungen aus Algebra, Geometrie, Kombinatorik und Zahlentheorie begeistern. Ausgewählte Aufgaben aus forty five Jahren Bundeswettbewerb Mathematik werden mit ausführlichen Lösungen, Hintergrundinformation und inhaltlichen Variationen reich illustriert präsentiert.

Von der Mathematik geht für Viele seit jeher eine besondere Faszination aus. Wer tiefer in sie eindringt entdeckt ihre Schönheit, ihre Eleganz und ihre Vielfalt und stößt immer wieder auf überraschende Resultate. Hiervon bereits Schülerinnen und Schülern etwas nahe zu bringen, ist eines der Anliegen des Bundeswettbewerbs Mathematik. Mit seinen außergewöhnlichen Aufgaben regt er seit forty six Jahren Jugendliche an, sich eine Zeit lang intensiv mit Mathematik zu beschäftigen und Erfahrungen im Problemlösen zu sammeln.

Anhand von ausgewählten, in den Augen des Aufgabenausschusses besonders gelungenen Aufgaben dokumentiert dieses Buch die Vielfalt der Aufgabenstellungen und beleuchtet ihren jeweiligen mathematischen Hintergrund. Darüber hinaus sind hier zum ersten Mal alle Aufgaben, die seit dem ersten Lauf des Bundeswettbewerbs Mathematik im Schuljahr 1970/71 gestellt wurden, komplett versammelt.

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Die Aufgabenstellung ist bereits nach u¨ blichen elementaren Unterweisungen aus dem Geometrieunterricht verst¨andlich. Der Reiz und die Sch¨onheit der Problemstellung erwachsen in dem Bem¨uhen sie zu l¨osen. Es er¨offnen sich zunehmend viele M¨oglichkeiten zum Beweis und interessante Einsichten. Zun¨achst wollen wir einfachste Begriffserkl¨arungen und Sachverhalte aus dem Schulunterricht zu diesen beiden besonderen Punkten eines Dreiecks nennen: Der Schwerpunkt S eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (Bild 1).

P' D' R' A' C' Bild 2. B' Beweis von (B). Angenommen, P 0 l¨age nicht auf A0 B 0 (Bild 2). Es wird gezeigt, dass dann die Gerade AB auf die gesamte Ebene abgebildet wird im Widerspruch zur Bijektivit¨at der Abbildung. Es sei R0 ein beliebiger Punkt der Ebene. Liegt er auf A0 B 0 oder A0 P 0 , so liegt nach (A) R auf AB oder auf Gerade AP D AB. Nun liege R0 weder auf A0 B 0 noch auf A0 P 0 . Eine weder zu A0 B 0 noch A0 P 0 parallele Gerade durch R0 schneide A0 B 0 in C 0 ¤ A0 und A0 P 0 in D 0 .

3bc sin ˛/2 c Á2 2 0, also e22 nach (10) reell, und weiter ˇ 2 ˇÃ ˇc ˇ 2 2 ˇ b C bc cos ˛ C ˇ b C bc cos ˛ ˇˇ 2 0: Daher ist insbesondere D c 2 e22 2 3  c2 2 0: Es bleibt noch e22 > 0 zu zeigen. b 2 C c 2 bc cos ˛/2 . b C c 2 bc cos ˛/ D > c2 : 3 3 Damit ist die Behauptung bewiesen. t u Aus den vorangehenden Untersuchungen folgt: Das Originaldreieck ABC und das projizierte Dreieck A0 B 0 C 0 sind genau dann kongruent, wenn das Dreieck ABC gleichseitig ist. Foto Mathematikum Gießen (Fotograf ROLF K.

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